作业描述：

给定一个点$P=(2,1)$，将该点绕原点先逆时针旋转$45°$，再平移$(1,2)$，计算出变换后点的坐标（要求使用齐次坐标进行计算）.

1 数学思路

首先写出点$P$的齐次坐标$(2,1,1)$.

然后写出旋转矩阵

$$R = \begin{pmatrix} \cos 45° & -\sin 45° & 0 \\ \sin 45° & \cos 45° & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

然后写出平移矩阵

$$T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

于是变换后的坐标为

$$P' = T \cdot R \cdot P$$

2 程序设计

int main()
{
    Eigen::Vector3f p(2, 1, 1), pNew;

    Eigen::Matrix3f r, t;

    // 定义旋转角
    float rad = 45.0 / 180.0 * M_PI;

    r << cos(rad), -sin(rad), 0,
        sin(rad), cos(rad), 0,
        0, 0, 1;

    t << 1, 0, 1,
        0, 1, 2,
        0, 0, 1;

    pNew = t * r * p;

    std::cout << "The new homogenous coordinate is " << std::endl;
    std::cout << pNew << std::endl;
  
    return 0;
}

编译运行后输出：

The new homogenous coordinate is 
1.70711
4.12132
      1